THÈMES DE RECHERCHE

Calcul intégral, arbres, processus fractionnaires :

A une trajectoire continue à valeurs réelles on peut associer un arbre réel. Notre but a été de lire certaines propriétés de la trajectoire sur l’arbre. Plus précisément :

Nous montrons en particulier que l’intégrale de Young (définie sous certaines conditions par rapport à des trajectoires à variation infinie) peut en fait être vue comme une intégrale de Lebesgue sur l’arbre. Cette interprétation s’étend également à certaines intégrales définies dans le cadre de la théorie des chemins rugueux. Notre technique peut être généralisée aux trajectoires avec sauts.

Nous pouvons appliquer cette étude aux trajectoires du mouvement brownien fractionnaire ou des processus de Lévy. Dans le cas du mouvement brownien standard, l’analyse stochastique des excursions browniennes permet également d’interpréter les intégrales de Itô et d’obtenir une nouvelle représentation intégrale des fonctionnelles sur l’espace de Wiener (formule de type Clark-Ocone).

En ce qui concerne le mouvement brownien fractionnaire, nous avons également passé en revue diverses représentations intégrales classiques. Ces formules peuvent être appliquées à l'étude de ce processus vu comme processus gaussien, et en particulier d'obtenir des résultats sur son espace de Cameron-Martin et sur sa comparaison avec d'autres processus fractionnaires.

Publications :

  1. J. Picard, Representation formulae for the fractional Brownian motion, dans : C. Donati-Martin, A. Lejay, A. Rouault (Eds.), Séminaire de Probabilités XLIII, Lect. N. in Math. 2006, Springer, 2011.
  2. J. Picard, A tree approach to p-variation and to integration, The Annals of Probability 36 (2008), 6, 2235-2279.
  3. J. Picard, Brownian excursions, stochastic integrals, and representation of Wiener functionals, Electronic J. Probab. 11 (2006), 199-248.

Calcul stochastique sur les variétés :

Les notions de martingales à valeurs dans une variété N et d’applications harmoniques à valeurs dans N sont très liées (de la même façon qu’il y a un lien entre martingales réelles et fonctions harmoniques réelles) : plus précisément les applications harmoniques h de M dans N pour une diffusion sur M (par exemple le mouvement brownien si M est riemannienne) transforment cette diffusion en martingale sur N. En particulier, la construction des applications harmoniques correspond à la construction des martingales avec valeur finale donnée. Nous pouvons également considérer des processus de Markov avec sauts sur M et des martingales avec sauts sur N.

Nous avons considéré deux méthodes pour construire de telles martingales :

Les techniques stochastiques peuvent également être utilisées pour étudier la régularité des applications harmoniques ; ces applications sont indéfiniment différentiables si la diffusion satisfait les conditions de Hörmander. Cela se fait par une étude des martingales à valeurs dans le fibré tangent de la variété N, et en utilisant des estimations sur la régularité des fonctions harmoniques réelles (estimations pouvant être fournies par le calcul de Malliavin). Dans le cas elliptique, une technique simple fournit aussi des estimations sur le gradient des applications harmoniques.

Nous nous sommes également intéressés au cas où la variété N devient un espace métrique singulier, plus particulièrement un arbre. Dans ce cas, certains des résultats précédents peuvent être étendus, mais demandent une adaptation ; dans le cas de processus avec sauts, nous avons ainsi dû introduire une nouvelle notion de martingale avec sauts.

Publications :

  1. J. Picard, Stochastic calculus and martingales on trees, Annales Institut Henri Poincaré, Prob. Stat. 41 (2005), 4, 631-683.
  2. J. Picard, Gradient estimates for some diffusion semigroups, Probability Theory and Related Fields 122 (2002), 593-612.
  3. J. Picard, The manifold-valued Dirichlet problem for symmetric diffusions, Potential Analysis 14 (2001), 1, 53-72.
  4. J. Picard, Smoothness of harmonic maps for hypoelliptic diffusions, The Annals of Probability 28 (2000), 2, 643-666.
  5. J. Picard, Barycentres et martingales sur une variété, Annales Institut Henri Poincaré, Prob. Stat. 30 (1994), 4, 647-702.
  6. J. Picard, Martingales on Riemannian manifolds with prescribed limit, Journal of Functional Analysis 99 (1991), 2, 223-261.
  7. J. Picard, Calcul stochastique avec sauts sur une variété, dans : J. Azéma, P.A. Meyer et M. Yor (eds.), Séminaire de Probabilités XXV, Lect. N. in Math. 1485, Springer, 1991.
  8. J. Picard, Martingales sur le cercle, dans : J. Azéma, P.A. Meyer et M. Yor (eds.), Séminaire de Probabilités XXIII, Lect. N. in Math. 1372, Springer, 1989.

Analyse stochastique sur l’espace de Poisson :

Le point de départ est l’étude d’une classe de transformation sur l’espace de Poisson qui peuvent être vues comme l’analogue des transformations de Cameron-Martin sur l’espace de Wiener ; ces transformations ajoutent ou enlèvent des masses à la mesure ponctuelle de Poisson et vérifient une formule d’intégration par parties analogue à la formule de base du calcul de Malliavin.

On peut alors généraliser aux diffusions avec sauts un des principaux résultats du calcul de Malliavin, à savoir la régularité de la loi. Plus précisément, on cherche à montrer l’existence d’une densité régulière pour des solutions d’équations différentielles stochastiques conduites par un processus de Lévy ; les résultats antérieurs permettaient de traiter le cas de processus de Lévy « réguliers » (c’est-à-dire avec une mesure de Lévy absolument continue) ; notre méthode permet de traiter aussi le cas des mesures de Lévy singulières ; la régularité de la loi est en fait impliquée par l’existence d’un grand nombre de petits sauts. Nous avons ensuite obtenu des applications de ce résultat : comportement de la densité en temps petit, régularité des fonctions harmoniques. Une méthode de localisation permet également d'étudier les processus à valeurs dans une variété, par exemple les processus de Lévy à valeurs dans un groupe de Lie.

Publications :

  1. J. Picard and C. Savona, Smoothness of the law of manifold-valued Markov processes with jumps, Bernoulli 19 (2013), 1880-1919.
  2. J. Picard and C. Savona, Smoothness of harmonic functions for processes with jumps, Stochastic Processes and their Applications 87 (2000), 69-91.
  3. J. Picard, Density in small time at accessible points for jump processes, Stochastic Processes and their Applications 67 (1997), 251-279.
  4. J. Picard, Density in small time for Lévy processes, ESAIM: Probab. Stat. 1 (1997), 357-389.
  5. J. Picard, Formules de dualité sur l’espace de Poisson, Annales Institut Henri Poincaré, Prob. Stat. 32 (1996), 4, 509-548.
  6. J. Picard, Transformations et équations anticipantes pour les processus de Poisson, Annales Mathématiques Blaise Pascal 3 (1996), 1, 111-123 (numéro à la mémoire d’A. Badrikian).
  7. J. Picard, On the existence of smooth densities for jump processes, Probability Theory and Related Fields 105 (1996), 481-511. Erratum : Probability Theory and Related Fields 147 (2010), 711-713.

Filtrage non linéaire :

Nos travaux sont principalement consacrés au filtrage de diffusions faiblement bruitées. Plus précisément, nous cherchons à obtenir des filtres qui soient asymptotiquement efficaces lorsque le bruit d’observation tend vers 0. Nous avons donc développé des techniques permettant d’estimer asymptotiquement l’erreur de ces filtres. La situation la plus simple est celle où la fonction d’observation est injective, mais nous avons aussi considéré des situations plus générales.

Nous avons aussi étudié d’autres problèmes d’approximation : « robustesse » du filtre, discrétisation en temps, petite non linéarité.

Publications :

  1. P. Milheiro de Oliveira et J. Picard, Approximate nonlinear filtering for a two-dimensional diffusion with one-dimensional observations in a low noise channel, SIAM J. Control Optim. 41 (2003), 6, 1801-1819.
  2. J. Picard, Estimation of the quadratic variation of nearly observed semimartingales with application to filtering, SIAM J. Control Optim. 31 (1993), 2, 494-517.
  3. J. Picard, A nonlinear filter with two time scales, dans : I. Karatzas et D. Ocone (eds.), Applied Stochastic Analysis (Rutgers University 1991), Lect. N. in Control and Inform. Sc. 177, Springer, 1992.
  4. J. Picard, Efficiency of the extended Kalman filter for nonlinear systems with small noise, SIAM Journal on Applied Mathematics 51 (1991), 3, 843-885.
  5. J. Picard, Nonlinear filtering and smoothing with high signal-to-noise ratio, dans : S. Albeverio et al. (eds.), Stochastic Processes in Physics and Engineering (4th BiBoS Symposium, Bielefeld 1986), Reidel, 1988.
  6. J. Picard, Asymptotic study of estimation problems with small observation noise, dans : A. Germani (ed.), Stochastic Modelling and Filtering (IFIP Conference, Rome 1984), Lect. N. in Control and Inform. Sc. 91, Springer, 1987.
  7. J. Picard, Filtrage de diffusions vectorielles faiblement bruitées, dans : A. Bensoussan et J.L. Lions (eds.), Analysis and Optimization of Systems (Conférence INRIA, Antibes 1986), Lect. N. in Control and Inform. Sc. 83, Springer, 1986.
  8. J. Picard, An estimate of the error in time discretization of nonlinear filtering problems, dans : C. Byrnes et A. Lindquist (eds.), Theory and Applications of Nonlinear Control Systems (MTNS Symposium, Stockholm 1985), North-Holland, 1986.
  9. J. Picard, Nonlinear filtering of one-dimensional diffusions in the case of a high signal-to-noise ratio, SIAM Journal on Applied Mathematics 46 (1986), 1098-1125.
  10. J. Picard, A filtering problem with a small nonlinear term, Stochastics 18 (1986), 313-341.
  11. J. Picard, Approximation of nonlinear filtering problems and order of convergence, dans : H. Korezlioglu, G. Mazziotto et J. Szpirglas (eds.), Filtering and Control of Random Processes (ENST-CNET Colloquium, Paris 1983), Lect. N. in Control and Inform. Sc. 61, Springer, 1984.
  12. J. Picard, Robustesse de la solution des problèmes de filtrage avec bruit blanc indépendant, Stochastics 13 (1984), 229-245.

Publications sur les autres thèmes :

  1. J. Picard, Convergence in probability for perturbed stochastic integral equations, Probability Theory and Related Fields 81 (1989), 383-452.
  2. J. Picard, Une classe de processus stable par retournement du temps, dans : J. Azéma et M. Yor (eds.), Séminaire de Probabilités XX, Lect. N. in Math. 1204, Springer, 1986.