THÈMES DE RECHERCHE
Calcul intégral, arbres, processus fractionnaires :
A une trajectoire continue à valeurs réelles on peut associer un arbre réel. Notre but a été de lire certaines propriétés de la trajectoire sur l’arbre. Plus précisément :
- la notion de p-variation de la trajectoire est liée à la notion de dimension fractale de l’arbre ;
- la notion d’intégration par rapport à la trajectoire est liée à la notion d’intégrale de Lebesgue sur l’arbre.
Nous montrons en particulier que l’intégrale de Young (définie sous certaines conditions par rapport à des trajectoires à variation infinie) peut en fait être vue comme une intégrale de Lebesgue sur l’arbre. Cette interprétation s’étend également à certaines intégrales définies dans le cadre de la théorie des chemins rugueux. Notre technique peut être généralisée aux trajectoires avec sauts.
Nous pouvons appliquer cette étude aux trajectoires du mouvement brownien fractionnaire ou des processus de Lévy. Dans le cas du mouvement brownien standard, l’analyse stochastique des excursions browniennes permet également d’interpréter les intégrales de Itô et d’obtenir une nouvelle représentation
intégrale des fonctionnelles sur l’espace de Wiener (formule de type
Clark-Ocone).
En ce qui concerne le mouvement brownien fractionnaire, nous avons également passé en revue diverses représentations intégrales classiques. Ces formules peuvent être appliquées à l'étude de ce processus vu comme processus gaussien, et en particulier d'obtenir des résultats sur son espace de Cameron-Martin et sur sa comparaison avec d'autres processus fractionnaires.
Publications :
- J. Picard, Representation formulae for the fractional Brownian motion, dans : C. Donati-Martin, A. Lejay, A. Rouault (Eds.), Séminaire de Probabilités XLIII, Lect. N. in Math. 2006, Springer, 2011.
- J. Picard, A tree approach to p-variation and to integration, The Annals of Probability 36 (2008), 6, 2235-2279.
- J. Picard, Brownian excursions, stochastic integrals, and representation of Wiener functionals, Electronic J. Probab. 11 (2006), 199-248.
Calcul stochastique sur les variétés :
Les notions de martingales à valeurs dans une variété N et d’applications harmoniques à valeurs dans N sont très liées (de la même façon qu’il y a un lien entre martingales réelles et fonctions harmoniques réelles) : plus précisément les applications harmoniques h de M dans N pour une diffusion sur M (par exemple
le mouvement brownien si M est riemannienne) transforment cette
diffusion en martingale sur N. En particulier, la construction des
applications harmoniques correspond à la construction des martingales avec
valeur finale donnée. Nous pouvons également considérer des processus de Markov
avec sauts sur M et des martingales avec sauts sur N.
Nous avons considéré deux méthodes pour construire de telles martingales :
- Lorsque N satisfait certaines propriétés de convexité, la construction peut se faire en discrétisant le temps.
- Lorsque N est une variété riemannienne complète et M est munie d’une diffusion symétrique Xt, les martingales de la forme h(Xt) peuvent se construire par une méthode variationnelle : minimisation de l’énergie de l’application, cette énergie s’interprétant au moyen de la forme de Dirichlet associée à la diffusion symétrique.
Les techniques stochastiques peuvent également être
utilisées pour étudier la régularité des applications harmoniques ; ces
applications sont indéfiniment différentiables si la diffusion
satisfait les conditions de Hörmander. Cela se fait par une étude des
martingales à valeurs dans le fibré tangent de la variété N, et en
utilisant des estimations sur la régularité des fonctions harmoniques réelles
(estimations pouvant être fournies par le calcul de Malliavin). Dans le cas
elliptique, une technique simple fournit aussi des estimations sur le gradient
des applications harmoniques.
Nous nous sommes également intéressés au cas où la variété
N devient un espace métrique singulier, plus particulièrement un arbre.
Dans ce cas, certains des résultats précédents peuvent être étendus, mais
demandent une adaptation ; dans le cas de processus avec sauts, nous avons
ainsi dû introduire une nouvelle notion de martingale avec sauts.
Publications :
- J. Picard, Stochastic calculus and martingales on trees, Annales Institut Henri Poincaré, Prob. Stat. 41 (2005), 4, 631-683.
- J. Picard, Gradient estimates for
some diffusion semigroups, Probability Theory and Related Fields 122 (2002), 593-612.
- J. Picard, The manifold-valued
Dirichlet problem for symmetric diffusions, Potential Analysis 14 (2001), 1, 53-72.
- J. Picard, Smoothness of harmonic
maps for hypoelliptic diffusions, The Annals of Probability 28 (2000), 2, 643-666.
- J. Picard, Barycentres et martingales sur une variété, Annales Institut Henri Poincaré, Prob. Stat. 30 (1994), 4, 647-702.
- J. Picard, Martingales on Riemannian
manifolds with prescribed limit, Journal of Functional Analysis 99 (1991), 2, 223-261.
- J. Picard, Calcul stochastique avec sauts sur une variété,
dans : J. Azéma, P.A. Meyer et M. Yor (eds.), Séminaire de Probabilités
XXV, Lect. N. in Math. 1485, Springer, 1991.
- J. Picard, Martingales sur le cercle, dans : J. Azéma,
P.A. Meyer et M. Yor (eds.), Séminaire de Probabilités XXIII, Lect. N. in Math. 1372, Springer, 1989.
Analyse stochastique sur l’espace de Poisson :
Le point de départ est l’étude d’une classe de transformation sur l’espace de
Poisson qui peuvent être vues comme l’analogue des transformations de
Cameron-Martin sur l’espace de Wiener ; ces transformations ajoutent
ou enlèvent des masses à la mesure ponctuelle de Poisson et vérifient une
formule d’intégration par parties analogue à la formule de base du calcul de Malliavin.
On peut alors généraliser aux diffusions avec sauts un des
principaux résultats du calcul de Malliavin, à savoir la régularité de la loi. Plus précisément, on cherche à montrer l’existence d’une densité régulière pour des solutions d’équations différentielles stochastiques
conduites par un processus de Lévy ; les résultats antérieurs permettaient
de traiter le cas de processus de Lévy « réguliers »
(c’est-à-dire avec une mesure de Lévy absolument continue) ; notre
méthode permet de traiter aussi le cas des mesures de Lévy singulières ;
la régularité de la loi est en fait impliquée par l’existence d’un
grand nombre de petits sauts. Nous avons ensuite obtenu des applications de ce
résultat : comportement de la densité en temps petit, régularité des
fonctions harmoniques. Une méthode de localisation permet également d'étudier les processus à valeurs dans une variété, par exemple les processus de Lévy à valeurs dans un groupe de Lie.
Publications :
- J. Picard and C. Savona, Smoothness of the law of manifold-valued Markov
processes with jumps, Bernoulli 19 (2013), 1880-1919.
- J. Picard and C. Savona, Smoothness
of harmonic functions for processes with jumps, Stochastic Processes and
their Applications 87
(2000), 69-91.
- J. Picard, Density in small time at
accessible points for jump processes, Stochastic Processes and
their Applications 67 (1997), 251-279.
- J. Picard, Density in small time for
Lévy processes, ESAIM: Probab. Stat. 1 (1997),
357-389.
- J. Picard, Formules de dualité sur l’espace de Poisson, Annales
Institut Henri Poincaré, Prob. Stat. 32 (1996), 4, 509-548.
- J. Picard, Transformations et équations anticipantes pour les
processus de Poisson, Annales Mathématiques Blaise Pascal 3 (1996), 1, 111-123 (numéro à la mémoire d’A. Badrikian).
- J. Picard, On the existence of
smooth densities for jump processes, Probability Theory and Related Fields 105
(1996), 481-511. Erratum : Probability Theory and Related Fields 147 (2010), 711-713.
Filtrage non linéaire :
Nos travaux sont principalement consacrés au filtrage de diffusions
faiblement bruitées. Plus précisément, nous cherchons à obtenir des filtres qui
soient asymptotiquement efficaces lorsque le bruit d’observation tend
vers 0. Nous avons donc développé des techniques permettant
d’estimer asymptotiquement l’erreur de ces filtres. La situation la
plus simple est celle où la fonction d’observation est injective, mais
nous avons aussi considéré des situations plus générales.
Nous avons aussi étudié d’autres problèmes
d’approximation : « robustesse » du filtre, discrétisation
en temps, petite non linéarité.
Publications :
- P. Milheiro de Oliveira et J. Picard, Approximate nonlinear filtering
for a two-dimensional diffusion with
one-dimensional observations in a low noise channel, SIAM J. Control Optim. 41 (2003), 6, 1801-1819.
- J. Picard, Estimation of the quadratic
variation of nearly observed semimartingales with application to filtering, SIAM J. Control Optim. 31 (1993), 2, 494-517.
- J. Picard, A nonlinear filter with
two time scales, dans : I. Karatzas et D. Ocone (eds.), Applied Stochastic
Analysis (Rutgers University 1991), Lect. N. in Control and Inform. Sc. 177,
Springer, 1992.
- J. Picard, Efficiency of the
extended Kalman filter for nonlinear systems with small noise, SIAM Journal on Applied Mathematics 51 (1991), 3, 843-885.
- J. Picard, Nonlinear filtering and
smoothing with high signal-to-noise ratio, dans : S. Albeverio et al.
(eds.), Stochastic Processes in Physics and Engineering (4th BiBoS Symposium, Bielefeld 1986), Reidel, 1988.
- J. Picard, Asymptotic study of
estimation problems with small observation noise, dans : A. Germani
(ed.), Stochastic Modelling and Filtering (IFIP Conference, Rome 1984),
Lect. N. in Control and Inform. Sc. 91, Springer, 1987.
- J. Picard, Filtrage de diffusions
vectorielles faiblement bruitées, dans : A. Bensoussan et J.L. Lions (eds.),
Analysis and Optimization of Systems (Conférence INRIA, Antibes 1986),
Lect. N. in Control and Inform. Sc. 83, Springer, 1986.
- J. Picard, An estimate of the error
in time discretization of nonlinear filtering problems, dans : C.
Byrnes et A. Lindquist (eds.), Theory and Applications of Nonlinear Control
Systems (MTNS Symposium, Stockholm 1985), North-Holland, 1986.
- J. Picard, Nonlinear filtering of
one-dimensional diffusions in the case of a high signal-to-noise ratio, SIAM Journal on Applied Mathematics 46 (1986), 1098-1125.
- J. Picard, A filtering problem with
a small nonlinear term, Stochastics 18 (1986), 313-341.
- J. Picard, Approximation of
nonlinear filtering problems and order of convergence, dans : H.
Korezlioglu, G. Mazziotto et J. Szpirglas (eds.), Filtering and Control of Random Processes (ENST-CNET Colloquium, Paris 1983), Lect. N. in Control and Inform. Sc. 61, Springer, 1984.
- J. Picard, Robustesse de la solution des problèmes de filtrage
avec bruit blanc indépendant, Stochastics 13 (1984), 229-245.
Publications sur les autres thèmes :
- J. Picard, Convergence in
probability for perturbed stochastic integral equations, Probability Theory and Related Fields 81 (1989), 383-452.
- J. Picard, Une classe de processus stable par retournement du
temps, dans : J. Azéma et M. Yor (eds.), Séminaire de Probabilités XX, Lect. N. in Math. 1204, Springer, 1986.